ECUACIONES CANÓNICAS, POLINÓMICAS Y FACTORIZADAS

Sabiendo el vértice es muy sencillo determinar la forma canónica de la parábola. 
Esta responde a: 
y=a(x-x(v))^2+y(v), donde (x(v) ; y(v)) son las coordenadas del vértice, en este caso (2,3), solo falta determinar a. 
Para esto usamos el dato que f(0)=0 (es el otro pto . que te dan que pertenece a la parábola). 
Asi planteas: 
0=a(0-2)^2+3 y despejas a, que vale: a=-3/4. 
Entonces la ecuacion canonica es: 
y= -3/4(x-2)^2+3 


Para la formula polinomica desarrollas la canónica y listo, esto es desarrollar el cuadrado de un binomio y sumarle tres:
y= -3/4(x^2-2.2.x +2^2)+3= -3/4(x^2-4x+4) +3 
y=-3/4 x^2 -3x 


Para la forma factorizada necesitamos saber las raíces de la parábola usando la simetría de la parábola. Recordamos que el eje de simetría es la ecuación x=2 (el x del vértice) y si la dibujas vas a ver que la distancia de 0 a 2 tiene que ser la misma que de 2 al otro cero(todo esto hablando con y=0 cte.), asi el otro cero debe ser 2+2=4. 

Habiendo sacando los ceros son 0 y 4, ahora para la expresar la parábola en forma factorizada tenemos que seguir la siguiente estructura: 
y=a(x-x(1))(x-x(2)), donde x(1) y x(2) son los ceros o raíces y a es el coeficiente principal que ya lo tenemos. 
Así queda: 
y= -3/4.(x-2)(x-4) 

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